具有长程跳跃的对称随机游走的常返性与暂态性

设 $X_1, X_2, \ldots$ 为取值于 $\mathbb{Z}^d$ 的 i.i.d. 随机变量，满足对某个 $s>d$ 有 $\mathbb{P} \left(X_1=x\right) = \mathbb{P} \left(X_1=-x\right) = \Theta \left(\|x\|^{-s}\right)$。我们证明由 $S_n = \sum_{k=1}^{n} X_k$ 定义的随机游走在 $d\in \{1,2\}$ 且 $s \geq 2d$ 时为常返的，否则为暂态的。这也表明对于维数 $d\in \{1,2\}$ 中的电网，条件 $c_{\{x,y\}} \leq C \|x-y\|^{-2d}$ 蕴含常返性，而 $c_{\{x,y\}} \geq c \|x-y\|^{-s}$（对某个 $c>0$ 且 $s<2d$）蕴含暂态性。这一事实此前已知，但我们给出了仅使用电网的新的证明。我们还利用这些结果证明了某些长程渗流簇上随机游走的常返性。特别地，我们给出了二维权重依赖随机连接模型若干情形下的常返性，该模型此前由 Gracar 等人 [Electron. J. Probab. 27. 1-31 (2022)] 研究过。