$d$ 维中随机游走未移除位点的渗流

随机游走对位点的移除如何导致渗流阻塞?为研究这一关联位点渗流问题,我们考虑在尺寸为 $L^d$ 的 $d$ 维超立方晶格(具有周期性边界)上步数为 $N=uL^d$ 的随机游走(RW)。我们系统地探索未被 RW 移除的位点的渗流(存在跨越团簇)概率 $\Pi_d(L,u)$ 对 $L$ 和 $u$ 的依赖性。未访问位点的浓度随 $u$ 增大而指数衰减,而访问过的位点高度关联——其关联随距离 $r$ 按 $1/r^{d-2}$ 衰减(在 $d>2$ 时)。随 $L$ 增大,渗流概率 $\Pi_d(L,u)$ 趋近于阶跃函数,当 $u$ 越过对所有 $3\le d\le6$ 都接近 3 的渗流阈值 $u_c$ 时从 1 跳到 0。在数值精度内,与渗流相关的关联长度以与 $\nu=2/(d-2)$ 一致的幂律发散。在下临界维数 $d=2$ 处无渗流阈值,渗流概率趋近于光滑函数 $\Pi_2(\infty,u)>0$。