二维随机游走未访问格点的渗流视角研究

我们考虑在具有周期边界条件的 $L\times L$ 正方形晶格上，未被步数为 $N=uL^2$ 的随机游走访问（即空置）的格点所构成的渗流问题。多数结果来自数值模拟。与高维情形不同，该问题没有尖锐的渗流阈值，其跨越（渗流）概率是随 $u$ 单调递减的光滑函数。空置格点团簇并非分形，但具有维数为 4/3 的分形边界。晶格尺寸 $L$ 是该问题中唯一的大尺度。最大团簇中的典型质量（格点数 $s$）正比于 $L^2$，其余（较小）团簇的平均质量也正比于 $L^2$。大小为（质量）$s$ 的团簇的归一化（每格点）密度 $n_s$ 正比于 $s^{-\tau}$，而第 $k$ 大团簇所占体积分数 $P_k$ 按 $k^{-q}$ 标度。我们提出一种启发式论证，认为 $\tau=2$ 且 $q=1$。然而，数值测得的值为 $\tau\approx1.83$ 和 $q\approx1.20$。我们推测这些是有效指数，随 $L$ 增大以 $1/\ln L$ 趋于零般缓慢地漂移至其渐近值。