有限维和完全图上强连通簇的逾渗相变

我们通过从维度$d=2$到$7$的超立方晶格和完全图上的大规模模拟，研究了强连通簇(SCC)的逾渗现象，其中位点通过有向路径相互可达。在上临界维度$d_u=6$以下，临界SCC表现出非平凡的分形维数$d_{\rm SCC}$，且尺寸分布标度为$\sim s^{-\tau_{\rm SCC}}$，满足超标度关系$\tau_{\rm SCC}=1+d/d_{\rm SCC}$。对于$d \ge d_u$，恢复平均场行为，$d_{\rm SCC}/d=1/3$，与完全图结果一致。然而，与超立方晶格相比，完全图在SCC尺寸分布中表现出双标度结构：大型SCC受平均场值$\tau_{\rm SCC}=4$支配，而小型SCC遵循指数为$\tau'=1$的独特幂律。在临界点，巨大的入簇和出簇也是分形的，与标准逾渗簇具有相同的维数。这些结果表明，临界SCC在不同维度上仍然是定义明确的分形对象，而它们趋近平均场极限的过程涉及簇统计的非平凡变化。