关于随机游走对环面的分割

我们考虑在离散环面 (Z/NZ)^d 上的简单随机游走，其中维度 d 至少为 3，边长 N 很大。对于固定的常数 u > 0，我们研究空置集（即随机游走在其前 [uN^d] 步中未访问的顶点集合）的逾渗性质。我们证明了空置集存在两个不同相，其含义如下：如果 u > 0 选择得足够大，则当 N 趋于无穷时，空置集的所有连通分量以高概率包含不超过 log(N) 的幂次个顶点。另一方面，对于小的 u > 0，存在一个占据总体积 N^d 非退化部分的宏观空置集分量。在维度 d 至少为 5 时，我们进一步证明了该宏观分量是唯一的，即所有其他分量的体积至多为 log(N) 的幂次阶。我们的结果因此解决了 Benjamini 和 Sznitman 在 arXiv:math/0610802 中提出的开放问题，他们研究了高维情形下的小 u 区域。证明基于随机游走与 Z^d 上随机交织的耦合。在其他技术中，该耦合的构造采用了离散位势理论的精细应用。该耦合本身加强了 arXiv:0802.3654 中的一个结果。