随机游走与随机交织的空置集的相变

我们考虑离散环面$(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})^d$（$d \geq 3$）上随机游走在阶为$uN^d$的时刻（参数$u>0$）所访问的点集，并取大-$N$极限。我们证明游走留下的空置集在某一非退化临界值$u_* = u_*(d)$处经历相变，如下所述。对所有$u< u_*$，空置集以高概率包含一个巨连通分支，其具有非零渐近密度并满足某种局部唯一性性质。截然相反地，对所有$u> u_*$，空置集散裂为微小连通分支。我们的结果进一步蕴含阈值$u_*$精确等于Sznitman在arXiv:0704.2560中引入的临界值，该值刻画了相应局部极限即$\mathbb{Z}^d$上随机交织空置集的渗流相变。我们的发现也给出相应的无穷体积结果，即长期推测的、与随机交织空置集自然关联的三个临界参数$\bar u$、$u_*$与$u_{**}$的等式。