离散环面上随机游走 vacant set 的对数分量

本研究延续了 Benjamini 和 Sznitman 近期工作发起的关于高维 $d$ 中离散环面 $(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})^d$ 上直至时间 $uN^d$ 未被随机游走访问的点集（vacant set）的渗流性质的调查。若选取足够小的 $u>0$，已证明以压倒性概率该 vacant set 包含一个唯一的巨分量，该分量包含长度为 $c_0 \log N$ 的线段（其中 $c_0 > 0$ 为某常数），且当 $N$ 趋于无穷大时，该分量占据总体积的非退化部分。在相同设定下，我们在此研究 vacant set 中巨分量的补集，并证明某些分量由对数尺度的线段组成。特别是，这表明在巨分量的定义中选取足够大的常数 $c_0 > 0$ 至关重要。