关于高次正则图及超立方体上随机游走空集的一个注记

我们考虑在满足特定条件的 $d$-正则图 $G$ 上的随机游走，其中 $d\to\infty$。我们的主要例子是 $d$ 维超立方体，其拥有 $n=2^d$ 个顶点。我们探讨了空集（即未被访问的顶点集）可能的连通分支结构。令 $\Lambda(t)$ 为游走进行到第 $t$ 步时由空集诱导的子图。我们证明，若满足特定条件，则图 $\Lambda(t)$ 会在 $t^*=n\log_ed$ 附近发生相变。我们的结果表明，若 $t\leq(1-\epsilon)t^*$，则当顶点数 $n\to\infty$ 时以高概率 (w.h.p.) 最大连通分支的大小 $L_1(t)$ 满足 $L_1\gg\log n$；而若 $t\geq(1+\epsilon)t^*$，则 $L_1(t)=o(\log n)$。