随机图上巨分量中随机游走留下的空集发生的相变

我们研究了 $n$ 个顶点的超临界 Erd\H{o}s-R\'enyi 随机图巨分量上的简单随机游走，特别是所谓的 $u$ 水平空集，即运行时间与 $u$ 和 $n$ 成正比的随机游走轨迹的补集。我们表明，空集的分量结构在临界参数 $u_{\star}$ 处表现出相变：对于 $u<u_{\star}$，空集以高概率拥有一个阶数为 $n$ 的唯一巨分量，而所有其他分量较小，阶数至多为 $\log^{7}n$；而对于 $u>u_{\star}$，它以高概率所有分量均较小。此外，我们证明 $u_{\star}$ 与 Poisson-Galton-Watson 树上随机交织的临界参数一致，后者已在 [Tas10] 中被确定。