随机几何图中覆盖时间的跳跃

本文研究了在$\mathrm{Poi}(n)$个顶点上的超临界$d$维随机几何图的巨分支上简单随机游走的覆盖时间。我们证明了覆盖时间在连通阈值半径$r_c$处发生跳跃：令$r_g$表示出现巨分支的阈值，我们证明如果半径$r$满足$(1+\varepsilon)r_g \le r \le (1-\varepsilon)r_c$（其中$\varepsilon>0$任意小），则巨分支的覆盖时间渐近几乎必然为$\Theta(n \log^2 n)$。另一方面，我们证明对于$r \ge (1+\varepsilon)r_c$，图的覆盖时间渐近几乎必然为$\Theta(n \log n)$（此前仅在$d=2$且半径大一个常数因子时已知）。我们的证明也揭示了$r_c$附近的一些行为。