近临界随机图的混合时间

设 $\mathcal{C}_1$ 为 Erdős–Rényi 随机图 $\mathcal{G}(n,p)$ 的最大连通分量。在严格超临界区域（$p=c/n$，固定 $c>1$）中，$\mathcal{C}_1$ 上随机游走的混合时间由 Fountoulakis 和 Reed 以及独立地由 Benjamini、Kozma 和 Wormald 证明为 $\log^2n$ 量级。在临界窗口（$p=(1+\varepsilon)/n$，其中 $\lambda=\varepsilon^3n$ 有界）中，Nachmias 和 Peres 证明了 $\mathcal{C}_1$ 上的混合时间为 $n$ 量级。然而，如何在这些结果之间进行插值，并估计巨分量从临界窗口出现时的混合时间尚不清楚。事实上，即使该区域中 $\mathcal{C}_1$ 直径的渐近性，也直到最近才由 Riordan 和 Wormald 以及本文作者和 Kim 获得。在本文中，我们证明对于 $p=(1+\varepsilon)/n$，其中 $\lambda=\varepsilon^3n\to\infty$ 且 $\lambda=o(n)$，$\mathcal{C}_1$ 上的混合时间以高概率为 $(n/\lambda)\log^2\lambda$ 量级。此外，我们表明这是所有分量中最大混合时间的量级，无论是在略超临界还是略亚临界区域 [即 $p=(1-\varepsilon)/n$，$\lambda$ 同上]。