临界随机有向图的缩放极限

我们考虑顶点集为 $\{1,2,\ldots,n\}$ 的随机有向图 $\vec{G}(n,p)$，其中 $n(n-1)$ 条可能的有向边每条均以概率 $p$ 独立存在。我们关注该有向图的强连通分量。已知在 $p = 1/n$ 处会出现巨型强连通分量的相变，临界窗口为 $p= 1/n + \lambda n^{-4/3}$（$\lambda \in \mathcal{R}$）。我们证明，在此临界窗口内，$\vec{G}(n,p)$ 的强连通分量按大小降序排列并以 $n^{-1/3}$ 重新标度后，依分布收敛于一个有限强连通有向多重图序列 $(\mathcal{C}_1,\mathcal{C}_2,\ldots)$，其边长或为 3-正则或为环。收敛在一种 $\ell^1$ 序列度量意义下成立，该度量下两个有向多重图若其顶点集与边集间存在大致保持边长的相容同构则相近。我们的证明依赖于图的深度优先探索，借此将强连通分量与无向 Erd\H{o}s-R\'enyi 随机图 $G(n,p)$ 的特定生成森林相联系，后者的缩放极限已被充分理解。我们证明极限序列 $(\mathcal{C}_1,\mathcal{C}_2,\ldots)$ 仅含有限个非环分量。若忽略边长，任意固定的有限 3-正则强连通有向多重图序列均以正概率出现。