强连通分支的诞生

随机有向图 $D(n,p)$ 在 $p = 1/n$ 附近经历相变，且相变窗口的宽度自 Luczak 与 Seierstad 的工作起已为人所知。他们已证明当 $n \to \infty$ 且 $p = (1 + \mu n^{-1/3})/n$ 时，随机有向图的强连通分支仅为圈与单点的渐近概率随 $\mu$ 从 $-\infty$ 到 $\infty$ 由 1 降至 0。借助解析组合学技术，我们确立了该概率作为 $\mu$ 的函数的精确极限值，并给出了随机有向图在其相变点附近、之下及之上的结构的更多性质。我们得到了随机有向图为无环图的概率，以及其具有一个强连通复杂分支且边数与顶点数之差（称为盈余）给定的概率。我们的结果亦可推广至具有给定盈余的多个复杂分支的情形，且适用于整个稀疏有向图范围。我们的研究基于一种可处理大量可能有向图族的一般符号方法，以及一种可系统应用于由符号方法导出的复围道积分的鞍点法变体。尽管技术上最简易的模型是允许重边的随机多重有向图模型（其中边重数依参数为固定 $p$ 的泊松分布独立抽样），我们也展示了如何系统处理禁止重边的简单有向图族，以及其中 2-圈被允许或不被允许的族。我们的理论预测得到数值模拟支持，并给出了本研究中出现的 Airy 函数积分的数值表。