具有任意独立同分布度的随机图

在本文中，我们推导了关于具有任意独立同分布度序列的随机图的连通分支和直径的结果。我们主要（但并非 exclusively）在这些度分布尾部以指数 $1-\tau$ 正则变化的情况下研究这些性质。存在三种不同情形：(i) $\tau>3$，此时度具有有限方差；(ii) $\tau\in (2,3)$，此时度具有无穷方差但有限均值；(iii) $\tau\in (1,2)$，此时度具有无穷均值。这些随机图可作为观察到度幂律的复杂网络的模型。我们的结果有两个方面。首先，我们给出了何时存在大小与图大小成比例的唯一最大连通分支的判据，并研究了其他连通分支的大小。其次，我们建立了当 $\tau \in (2,3)$ 时直径的相变。事实上，我们证明了对 $\tau>2$ 且度为 2 的节点以正概率出现时，随机图的直径以高概率被图大小对数的常数倍从下方界定。另一方面，假设所有度至少为 3，我们证明对 $\tau \in (2,3)$，图的直径以高概率被图大小 $\log \log$ 的常数倍从上方界定。