随机游走晚点的相变

设 $X$ 为维数 $d\geq 3$、边长为 $N$ 的环面上的随机游走，起点均匀分布，$t_{\text{cov}}$ 为其覆盖时间的期望值，即 $X$ 首次访问环面每个顶点至少一次的时间。对 $\alpha > 0$，$\alpha$-晚点集 $\mathcal{L}^{\alpha}$ 由在时刻 $\alpha t_{\text{cov}}$ 未被 $X$ 访问过的点组成。我们证明存在一值 $\alpha_* \in (\frac12,1)$，使得 $\mathcal{L}^{\alpha}$ 跨此值发生平凡化：对所有 $\alpha > \alpha_*$ 与 $\epsilon\geq N^{-c}$，存在 $\mathcal{L}^\alpha$ 与两个占据集 $\mathcal{B}^{\alpha_\pm}$ 的耦合，后者为具有相同密度的独立 Bernoulli 场，其密度渐近于 $N^{-(\alpha\pm\epsilon)d}$，且满足包含关系 $\mathcal{B}^{\alpha_+} \subseteq \mathcal{L}^{\alpha} \subseteq \mathcal{B}^{\alpha_-}$ 在 $N \to \infty$ 时以高概率成立。相反，当 $\alpha \leq \alpha_*$ 时不存在此类耦合。相应结果对高强度下随机交织的空点集也成立。$\alpha_*$ 处的相变对应于 $\mathcal{L}^{\alpha}$ 中“双点”（即相邻点对）的（消失）出现。我们进一步通过向 $\mathcal{B}^{\alpha_{\pm}}$ 添加独立模式来描述 $\alpha>\frac12$ 时 $\mathcal{L}^{\alpha}$ 的律。在维数 $d \geq 4$ 时这些恰为所有两点集。当 $d=3$ 时还须包含所有连通三点集，此外无其它。