受限随机漫步对内部子集的覆盖

我们考察在有限域 $D_N \subset \mathbb{Z}^d, d \geq 3$ 中永远保持的简单随机漫步。这种受限漫步是在由 $D_N$ 上拉普拉斯算子第一个特征向量给出的导电性上的随机漫步。在 $D_N$ 的内部子集上，这种受限漫步的轨迹可由倾斜随机 interlacements 近似，这是理解某些漫步性质的有用工具。本文提议研究内部子集 $\Lambda_N$ 的覆盖时间以及这些子集的滞后点。如果 $\Lambda_N$ 包含足够的滞后点，我们获得覆盖时间的渐近展开式 $c_\Lambda N^d \big[ \log N - \log\log N + \mathcal{G} \big]$，其中 $\mathcal{G}$ 为 Gumbel 随机变量，同时得到这些滞后点的泊松分布。我们使用的方法类似于 Belius 关于 torus 上的简单随机漫步的工作，该工作显示相同的渐近形式尽管没有 $\log \log N$ 项。在更一般的“球形”$\Lambda_N$ 设置下，我们仅得到渐近展开式的第一项。