连接平面域覆盖时间的紧致性

我们考虑在方格子的子集上进行连续时间的简单随机游走，边界条件为 wired：该游走在由子集的格子闭合图（通过将边界收缩为单个顶点）上以单位边速率进行转换。我们研究该游走的覆盖时间，即遍历图中所有顶点所需的时间。取一系列由缩放格子版本的美型平面域组成的子集，我们展示，归一化后覆盖时间的平方根围绕 $\frac{1}{\sqrt{\pi}} \log N - \frac{1}{4 \sqrt{\pi}} \log \log N$ tight，其中 $N$ 为尺度参数。这证明了对 wired 情况下的 Bramson 和 Zeitouni 于 2009 年提出的猜想的一个类比。该证明基于与离散高斯自由场的极端景观进行比较。