随机交织需要多薄才能让随机游走看穿它？

水平为$u$的随机交织$\mathscr{I}(u)$由Sznitman引入，是$\mathbb{Z}^d$（$d\geq 3$）上强度为$u>0$的独立简单随机游走轨迹的泊松集合。此后，多项工作研究了随机交织与$\mathbb{Z}^d$大集合相交的性质。在本文中，我们研究了$\mathscr{I}(u) \cap D_N$容量的渐近行为，其中$D_N$是紧集$D$的放大，典型大小为$N$。我们确定了强度参数的正确窗口$(u_N)_{N\geq 1}$，在该窗口下，容量$\mathrm{cap}(\mathscr{I}(u_N)\cap D_N)$开始相对于$\mathrm{cap}(D_N)$变得可忽略；这大致意味着从远处出发的随机游走开始看穿$\mathscr{I}(u_N)\cap D_N$。本着同样的精神，我们研究了在时间$t_N$之前被限制在大型欧几里得球内的简单随机游走的容量，并通过取$t_N = u_N N^d$发现了类似的渐近性。