有限程交织与耦合

在本文中，我们考虑 $\mathbb{Z}^d$（$d \geq3$）上能级 $u>0$ 的交织集 $\mathcal{I}^u$，及其有限程版本 $\mathcal{I}^{u,L}$（$L >0$），后者由 $\mathbb{Z}^d$ 上强度为 $u/L$、在 $L$ 步后终止的随机游走的泊松云的轨道并集给出。当 $L\to \infty$ 时，随机集 $\mathcal{I}^{u,L}$ 有一个非平凡的（局部）极限，恰好为 $\mathcal{I}^u$。一个自然的问题是理解集 $\mathcal{I}^{u,L}$ 与 $\mathcal{I}^{{u}}$ 能否以某种方式关联，使得它们与一个大半径 $R$ 的球盒的交几乎重合。我们借助开发的耦合解决了这个敏感依赖于 $R$ 的问题，使得以非常高概率对 $\mathcal{I}^{u,L}$ 与 $\mathcal{I}^{{u'},2L}$（$u' \approx u$）成立类似比较。特别地，对于空集 $\mathcal{V}^u=\mathbb{Z}^d \setminus \mathcal{I}^u$ 在接近临界阈值的 $u$ 值，我们的耦合在尺度 $R \gg \sqrt{L}$ 上仍然有效，这对应于一个自然屏障，跨越该屏障后包含在 $\mathcal{I}^{u,L}$ 中的长度为 $L$ 的游走于 $B_R$ 内去固化，即失去其内在长程结构而变得日益“尘埃状”。这些机制是对近期 arXiv:1706.07229 中展示的固化效应的补充。通过在二进尺度 $L$ 上迭代所得耦合，模型 $\mathcal{I}^{u,L}$ 被视为在临界点 $u_*$ 附近大空间尺度上 $\mathcal{I}^u$ 的平稳有限程近似。其中，这些耦合是刻画随机游走与随机交织的空集渗流相变的两篇即将发表的姊妹文章的重要要素。