对称随机游走的水平穿越及其应用

设 $X_1$, $X_2$, $...$ 为独立同分布随机变量序列，且 $\mathsf{E}X_1=0$；设 $S_0=0$ 且 $S_t=S_{t-1}+X_t$, $t=1,2,...$，为随机游走。记 $\tau=\begin{cases}\inf\{t>1: S_t\leq0\}, &\text{若} \ X_1>0, \\ 1, &\text{其他}. \end{cases}$ 设 $\alpha$ 为正数，$L_\alpha$ 表示在区间 $[0, \tau]$ 内从下方（或上方）穿越水平 $\alpha$ 的次数。在相当一般的假设下，本文建立了关于水平穿越期望次数的不等式。在某些特殊假设下，证明了存在一个无限递增序列 $\alpha_n$ 使得等式 $\mathsf{E}L_{\alpha_n}=c\mathsf{P}\{X_1>0\}$ 成立，其中 $c$ 为不依赖于 $n$ 的特定常数。本文以若干特殊随机游走为例说明了该结果，并给出了排队论中应用该理论结果的非平凡例子。