无限均值随机游走在随机时间区间上的最大值

设 $\xi_1,\xi_2,\ldots$ 为独立同分布的随机变量，其均值无限 $\mathbf E[|\xi_1|]=\infty$。考虑随机游动 $S_n=\xi_1+\cdots+\xi_n$、停时 $\tau=\min\{n\ge 1: S_n\le 0\}$，并令 $M_\tau=\max_{0\le i\le \tau} S_i$。我们研究当 $x\to\infty$ 时 $\mathbf P(M_\tau>x)$ 的渐近性质。