半无限直线上随机游走与 L\'evy 飞行的生存概率

我们考虑具有连续对称跳跃分布 $f(\eta)$ 的一维随机游走 (RW)，其特征由 L\'evy 指数 $\mu \in (0,2]$ 刻画，其中包括标准随机游走 ($\mu=2$) 和 L\'evy 飞行 ($0<\mu<2$)。我们研究生存概率 $q(x_0,n)$，即从初始位置 $x_0 \geq 0$ 开始直到第 $n$ 步 RW 保持非负的概率。我们的主要关注点是 $q(x_0,n)$ 在大 $n$ 下对 $x_0$ 的依赖性。我们表明，随着 $x_0$ 的变化，$q(x_0,n)$ 呈现出两种不同的机制：(i) 对于 $x_0= O(1)$（“量子机制”），跳跃过程的离散性显著改变了 $q(x_0,n)$ 的标准标度行为；(ii) 对于 $x_0 = O(n^{1/\mu})$（“经典机制”），过程的离散时间性质变得无关紧要，并恢复了标准标度行为（对于 $\mu =2$，这对应于标准布朗运动标度极限）。本文旨在研究随着 $x_0$ 增加，$q(x_0,n)$ 在量子机制和经典机制之间如何精确地发生交叉。