关联随机游走的普适存活概率及其在记录中的应用

我们考虑一个空间连续一维随机游走模型，其步间具有简单关联：两步同号的概率为 $q$，其中 $0\leq q\leq 1$。参数 $q$ 因而可控制随机游走的持续性。我们解析计算了 $n$ 步游走的存活概率，表明其对任意有限 $n$ 均独立于跳跃分布。这一普适性是不步间关联且对称随机游走的 Sparre-Andersen 定理的结果。我们随后应用该结果推导了随机游走达到其最大值所在步的分布及游走的记录统计，其展现出相同的普适性。特别地，我们表明对于 $n\gg 1$ 步游走，记录数的分布等同于具有 $n_{\rm eff}(q)=n/(2(1-q))$ 个不关联且对称分布步的随机游走。我们还表明在 $n\to \infty$ 且 $q\to 1$ 并令 $y=n(1-q)$ 的 regime 下，该模型收敛于 run-and-tumble 粒子——一种常用于建模细菌运动的持续性随机游走。我们的理论结果由数值模拟证实。