随机行走与 L\'evy 飞行的普适记录统计

研究表明，只要跳跃分布是连续且对称的，由随机行走生成的时间序列的记录统计就与跳跃分布的细节无关。在 $N$ 步中，记录分布的均值按 $\sqrt{4N/\pi}$ 增长，而标准差按 $\sqrt{(2-4/\pi) N}$ 增长，因此该分布是非自平均的。平均最短和最长持续时间的记录分别按 $\sqrt{N/\pi}$ 和 $0.626508... N$ 增长。本文还研究了离散随机行走者的情形，并发现了类似的渐近行为。