随机游走与莱维飞行记录增量的精确统计

我们研究了由持续 $n$ 步的随机游走（离散时间、连续空间）位置生成的时间序列 $\{x_0=0,x_1, x_2, \ldots, x_n\}$ 中记录值增量的统计。对于任意跳跃长度分布，包括莱维飞行(Lévy flights)，我们表明记录增量的分布变得平稳，即对于大 $n$ 独立于 $n$，并对广泛一类跳跃分布显式计算出该分布。此外，我们精确计算了记录增量单调递减直至第 $n$ 步的概率 $Q(n)$。值得注意的是，$Q(n)$ 对每个 $n$ 都是普适的（即独立于跳跃分布），对于大 $n$ 衰减为 $Q(n) \sim {\cal A}/\sqrt{n}$，其中普适振幅 ${\cal A} = e/\sqrt{\pi} = 1.53362\ldots$。