随机游走中极大值与极小值出现时间之差的分布

我们考虑一个固定时长 $T$ 的一维布朗运动。利用路径积分技术，我们精确计算了全局极小值出现时间 $t_{\min}$ 与全局极大值出现时间 $t_{\max}$ 之差 $\tau=t_{\min}-t_{\max}$ 的概率分布。我们将此结果推广到布朗桥，即周期为 $T$ 的周期布朗运动。在这两种情形下，我们解析地计算了 $\tau$ 的前几阶矩，以及 $t_{\max}$ 与 $t_{\min}$ 的协方差，表明这两个时间是反相关的。我们证明，布朗运动的 $\tau$ 分布对于具有 $n$ 步且跳跃方差有限的离散时间随机游走，在 $n\to \infty$ 极限下成立。对于跳跃方差发散的 Lévy 飞行，我们通过数值验证其 $\tau$ 分布不同于布朗情形。对于具有连续且对称跳跃的随机游走，我们通过数值验证事件“$\tau = n$”的概率对于任意有限 $n$ 精确为 $1/(2n)$，与跳跃分布无关。我们的结果也可用于描述在有限尺寸 $L$ 基底上生长的 $(1+1)$ 维稳态 Kardar-Parisi-Zhang 界面的极大与极小高度之间的距离。我们的发现得到了数值模拟的证实。其中部分结果已在近期一篇快报 [Phys. Rev. Lett. 123, 200201 (2019)] 中公布。