随机游动前两个最大值之间的间隙与时间间隔的精确统计

我们研究了马尔可夫一维随机游动者 (RW) 在 $n$ 个时间步后两个最右位置之间的间隙 $G_n$ 的统计量，以及分隔这两个极值位置出现的时间持续时间 $L_n$ 的统计量。随机游动的跳跃 $\eta_i$ 的分布 $f(\eta)$ 是对称的，其傅里叶变换在小 $k$ 处表现为 $1-\hat{f}(k)\sim| k|^\mu$，其中 $0 < \mu \leq 2$。我们计算了 $G_n$ 和 $L_n$ 的联合概率密度函数 (pdf) $P_n(g,l)$，并表明当 $n \to \infty$ 时，它趋近于一个极限 pdf $p(g,l)$。发现间隙的边缘 pdf $p_{\rm gap}(g)$ 在 $g \gg 1$ 且 $0<\mu < 2$ 时表现为 $p_{\rm gap}(g) \sim g^{-1 - \mu}$。我们表明，$L_n$ 的极限边缘分布 $p_{\rm time}(l)$ 具有代数尾 $p_{\rm time}(l) \sim l^{-\gamma(\mu)}$（当 $l \gg 1$ 时），其中 $\gamma(1<\mu \leq 2) = 1 + 1/\mu$，且 $\gamma(0<\mu<1) = 2$。对于 $l, g \gg 1$ 且固定 $l g^{-\mu}$ 的情况，$p(g,l)$ 呈现标度形式 $p(g,l) \sim g^{-1-2\mu} \tilde p_\mu(l g^{-\mu})$，其中 $\tilde p_\mu(y)$ 是一个依赖于 $\mu$ 的标度函数。我们还提供了数值模拟以验证我们的解析结果。