关于长程连续时间随机游走前两个极大值之间的间隙与时间间隔

我们考虑固定时间区间 $T$ 上的一维连续时间随机游走 (CTRW)，其中在每个时间步，游走者等待一段随机时间 $\tau$，然后执行从对称连续概率分布函数 (PDF) $f(\eta)$ 中抽取的跳跃，该分布的 L\'evy 指数为 $0 < \mu \leq 2$。我们的研究包括等待时间 PDF $\Psi(\tau)$ 具有幂律尾的情况，即 $\Psi(\tau) \propto \tau^{-1 - \gamma}$，其中 $0< \gamma < 1$，使得两次连续跳跃之间的平均时间是无限的。如果 $\gamma < \mu/2$，该随机运动是亚扩散的（如果 $\gamma > \mu/2$ 则是超扩散的）。我们研究了 CTRW 前两个最高位置之间的间隙 $g$ 与分隔这两个极大值的时间 $t$ 的联合 PDF。我们证明在长程 CTRW 极限 $T \to \infty$ 下，该 PDF 达到平稳极限联合分布 $p(g,t)$。我们的精确解析结果表明，该联合 PDF 在 $(\gamma, \mu)$ 平面上表现出非常丰富的行为，我们对此进行了详细研究。我们的主要结果通过数值模拟进行了验证。这项工作将 Majumdar 等人 (J. Stat. Mech. P09013, 2014) 在离散时间设定下的近期研究非平凡地扩展到了 CTRW。