随机游走分位数附近的间隙统计

我们考虑一个由 $n$ 步组成的随机游走,起始于 $x_0=0$,其跳跃分布为双指数(Laplace)分布。我们精确计算了在大 $n$ 和大 $k$ 且 $\alpha=k/n$ 固定极限下,第 $k^{\rm th}$ 与第 $(k+1)^{\rm th}$ 个极大值之间间隙 $d_{k,n}$ 的分布 $p_{k,n}(\Delta)$。我们表明,间隙的典型涨落(量级为 $O( n^{-1/2})$)由一个依赖于 $\alpha$ 的普适分布描述,我们显式地给出了该分布。有趣的是,该分布具有逆立方尾部,这意味着间隙矩具有非平凡的 $n$ 依赖性。我们还基于数值模拟论证,该分布是普适的,即它适用于更一般的跳跃分布(不仅限于 Laplace 分布),只要其连续、对称且具有定义良好的二阶矩。最后,我们还计算了 $\Delta=O(1)$ 时间隙分布 $p_{\alpha n,n}(\Delta)$ 的大偏差形式,结果证明它是非普适的。