关于随机子序列 {nα} 的偏差

对于无理数 $\alpha$，$\{n\alpha\}$ 在 Weyl 意义下模 1 一致分布，且其偏差的渐近行为已完全清楚。相比之下，除关于指数增长 $(n_k)$ 的度量结果外，关于子序列 $\{n_k \alpha\}$ 的偏差的精确结果极少。因此自然考虑随机的 $(n_k)$，本文中我们给出了当间隔 $n_{k+1}-n_k$ 为独立同分布的整数值随机变量时 $\{n_k \alpha\}$ 偏差的近乎最优的界。正如我们将看到的，偏差行为由间隔 $n_{k+1}-n_k$ 的分布与 $\alpha$ 的有理逼近性质之间的精细相互作用决定。我们还指出一个有趣的现象：当 $\alpha$ 的丢番图类型经过某一临界值时，$\{n_k \alpha\}$ 偏差的数量级发生突变。