Robin Laplacian 最优特征值的渐近行为与数值逼近

我们考虑在 $\mathbb{R}^{N}$ 中最小化 Robin Laplacian 第 $n$ 个特征值的问题。尽管已知对于 $n=1,2$ 及正边界参数 $\alpha$，最小化子不依赖于 $\alpha$，但我们通过数值演示表明情况并非总是如此，并展示了优化子如何依赖于 $\alpha$。我们针对该问题导出了一个 Wolf-Keller 型结果，并证明最优特征值的增长至多为 $n^{1/N}$ �量级，这与固定域的 Weyl 渐近行为形成鲜明对比。我们进一步证明，当 $n$ 趋于无穷大时，相邻特征值之间的间隙确实趋于零。数值结果进一步支持了如下猜想：对于每个 $n$，存在一个正的 $\alpha_{n}$ 值，使得对于所有 $0<\alpha<\alpha_{n}$，第 $n$ 个特征值由 $n$ 个圆盘最小化；结合解析估计，该值预期随 $n^{1/N}$ 增长。