关于参数化 Thue-Morse 序列与缺项三角乘积

一致分布理论的基本定理之一指出，对于任意无理数 $\alpha$，序列 $(n \alpha)_{n \geq 1}$ 的小数部分模 1 一致分布（u.d. mod 1）。Weyl 的另一个重要结果指出，对于任意由不同正整数组成的序列 $(n_k)_{k \geq 1}$，序列 $(n_k \alpha)_{k \geq 1}$ 的小数部分对几乎所有 $\alpha$ 均模 1 一致分布。然而，在这种一般情形下，通常极难分类那些发生一致分布的 $\alpha$，并衡量 $(\{n_1 \alpha\}, ..., \{n_N \alpha\})$ 的经验分布向均匀分布收敛的速度。在本文中，我们研究了当 $(n_k)_{k \geq 1}$ 为整数 Thue-Morse 序列（即二进制下各位数字之和为偶数的正整数序列）时的情形。特别地，我们利用了其与缺项三角乘积 $\prod^{L}_{\ell=0} |\sin \pi 2^{\ell} \alpha |$ 的联系，并通过给出此类乘积的尖锐度量估计，推导出了 $(n_{k} \alpha)_{k \geq 1}$ 的指数和以及 $(\{n_{k} \alpha\})_{k \geq 1}$ 的偏差的尖锐度量估计。此外，我们评论了我们的结果与丢番图逼近度量理论中一个开放问题之间的联系，并提供了一些具体的 $\alpha$ 数值示例，针对这些示例我们可以给出 $(\{n_{k} \alpha\})_{k \geq1}$ 偏差的估计。