与广义 Thue-Morse 序列相关的无穷乘积

给定整数 $q\ge2$ 和 $\theta_1,\cdots,\theta_{q-1}\in\{0,1\}$，令 $(\theta_n)_{n\ge0}$ 为广义 Thue-Morse 序列，定义为从 $\theta_0:=0$ 开始、如下态射的唯一不动点：$$0\mapsto0\theta_1\cdots\theta_{q-1}$$ $$1\mapsto1\overline{\theta}_1\cdots\overline{\theta}_{q-1}$$ 其中 $\overline{0}:=1$ 且 $\overline{1}:=0$。对于有理函数 $R$，我们研究如下形式的无穷乘积$$\prod_{n=1}^\infty\Big(R(n)\Big)^{(-1)^{\theta_n}}\quad\text{和}\quad\prod_{n=1}^\infty\Big(R(n)\Big)^{\theta_n}.$$这推广了 Allouche、Riasat 和 Shallit 于 2019 年给出的关于著名 Thue-Morse 序列 $(t_n)_{n\ge0}$ 的如下形式无穷乘积的相关结果$$\prod_{n=1}^\infty\Big(R(n)\Big)^{(-1)^{t_n}}\quad\text{和}\quad\prod_{n=1}^\infty\Big(R(n)\Big)^{t_n}.$$