关于广义 Thue-Morse 函数的 t-adic Littlewood 猜想

我们考虑由无穷乘积 $g_u(t) = \prod_{n=0}^\infty (1 + ut^{-2^n})$ 定义的洛朗级数，其中 $u\in \mathbb{F}$ 为参数，$\mathbb{F}$ 为一个域。我们证明对所有 $u\in\mathbb{Q}\setminus\{-1,0,1\}$，级数 $g_u(t)$ 不满足 $t$-adic Littlewood 猜想。另一方面，若 $\mathbb{F}$ 为有限域，则 $g_u(t)\in \mathbb{F}((t^{-1}))$ 要么为有理函数，要么满足 $t$-adic Littlewood 猜想。