小有限域上$p(t)$-adic Littlewood猜想的反例

2004年，de Mathan和Teulié提出了p-adic Littlewood猜想（p-LC），与经典的Littlewood猜想类似。给定一个域K和一个系数在K中的不可约多项式p(t)，p-LC在函数域上有一个自然的类比，简记为p(t)-LC（当p(t)=t时记为t-LC）。本文在特征为5的域上找到了p(t)-LC的一个显式反例。此外，推测该Laurent级数在所有特征p≡1 mod 4的域上否证了p(t)-LC。这填补了Adiceam、Nesharim和Lunnon（2022）一篇突破性论文留下的空白，他们在该论文中推测t-LC在所有特征p≡3 mod 4的互补域上不成立，并在p=3的情况下证明了这一点。在计算证据的支持下，这提供了关于p(t)-LC在所有特征不等于2的域上预期行为的完整图景。此外，Adiceam、Nesharim和Lunnon发现的在特征3域上t-LC的反例被证明在特征7和11的域上也成立，这为上述猜想提供了进一步证据。遵循该领域先前的工作，这些结果是通过基于组合论证并借助计算机辅助实现的。本工作的一个新特点是开发了一种高效算法（用Python实现），该算法将自动序列理论与函数域上的丢番图逼近相结合。预计该算法将有助于围绕函数域上Littlewood型猜想的进一步研究。