数墙上的组合学及其与$P(t)$-进Littlewood猜想的关系

对任意素数$p$与实数$\alpha$，由de Mathan与Teulié提出的$p$-进Littlewood猜想断言$$\inf_{|m|\ge1}|m|_p\cdot |m|\cdot |\left\langle\alpha m\right\rangle|=0.$$上式中，$|m|$为通常的绝对值，$|m|_p$为$p$-进范数，而$\left|\left\langle x\right\rangle\right|$为$x\in\mathbb{R}$到最近整数的距离。设$\mathbb{K}$为一个域，$P(t)\in\mathbb{K}[t]$为一不可约多项式。本文处理该猜想在$\mathbb{K}$上形式Laurent级数域中的类比，即所谓的$P(t)$-进Littlewood猜想（$P(t)$-LC）。确立了如下结果：（1）对于$P(t)=t$情形的任何$P(t)$-LC反例，均可生成当$P(t)$为任意不可约多项式时的反例。由于在$P(t)=t$且$\mathbb{K}$的特征为0、3、5、7和11时已知$P(t)$-LC不成立，从而在上述任一域上对任意不可约多项式$P(t)$均给出了$P(t)$-LC的反证。（2）建立了一个$t$-进乘法逼近的Khintchine型定理，使得在$P(t)=t$情形下能够借助一个额外的单调增长函数确定$P(t)$-LC反例集合的测度。（3）在增长函数为$\log^2$的临界情形下，当$P(t)=t$时该集合的Hausdorff维数被证明为最大。这些目标通过发展一套将$P(t)$-LC与所谓序列的数墙性质相关联的广泛组合理论得以实现。数墙是一个无限阵列，包含由该序列生成的每个有限Toeplitz矩阵的行列式。本文的主要新颖之处在于创建了一部“词典”，使得人们可以通过数墙的概念将正特征Diophantine逼近中的命题转移到组合学，反之亦然。