关于 $2$ 进制 Littlewood 猜想的若干界限

对于每个无理实数 $\alpha$，设 $M(\alpha) = \sup_{n\geq 1} a_n(\alpha)$ 为其连分数展开中最大的部分商（或 $\infty$，若不可界）。$2$ 进制 Littlewood 猜想 (2LC) 可表述如下：不存在无理数 $\alpha$，使得 $M(2^k \alpha)$ 对所有 $k\geq 0$ 均被常数 $C$ 所限制。2016 年，Badziahin 通过考虑 2LC 的不同表述形式证明了：若存在反例，则界限 $C$ 至少为 8。我们将此界限提高到 15。随后我们关注 2LC 的一个“B 变体”，将 $M(\alpha)$ 取代为 $B(\alpha) = \limsup_{n\to \infty} a_n(\alpha)$。在此设置下，我们证明若 $B(2^k \alpha) \leq C$ 对所有 $k\geq 0$ 成立，则 $C \geq 5$。我们的证明使用连分数的乘法 Hurwitz 算法。我们沿途发现若干二次无理数 $\alpha$，其具有如下性质：对于任意足够大的 $K$，存在 $\beta, 2\beta, 4 \beta, \ldots, 2^K \beta$ 都等价于 $\alpha$。