$p$-进制连分数的实数收敛与周期性

连分数已被推广到 $p$-进制数域，仍不知道是否存在著名的拉格朗日定理的类比。在一般情况下，$p$-进制连分数的周期性已被广泛研究并视为一个困难问题。本文显示了周期性$p$-进制连分数与收敛到实数二次无理数的强关联。特别是，在第一部分我们证明了收敛于 $\mathbb{R}$ 是 $p$-进制数域中二次无理数的连分数周期性的必要条件。此外，我们在实验计算中留下了若干关于反向情况的猜想。在论文的第二部分，我们利用这些结果发展出一种概率论方法来论证布罗金的$p$-进制连分数非周期性。概率结果是在假设$p$-进制数的二次无理数的$p$-进制位数均匀分布的情况下得出的，这种情况几乎适用于所有$p$-进制数。