关于 p 进 Jacobi–Perron 算法的有限性与周期性

多维连分数（MCF）由 Jacobi 与 Perron 引入，旨在获得代数无理数的周期表示，正如连分数与二次无理数那样。由于连分数亦在 p 进数域 $\mathbb Q_p$ 中被研究，MCF 近来也被引入 $\mathbb Q_p$ 并伴随一个 p 进 Jacobi–Perron 算法。在本文中，我们研究该算法的两个主要特征，即有限性与周期性。特别地，关于 p 进 Jacobi–Perron 算法的有限性，我们的结果通过利用某些辅助整数序列的性质得到。此外，已知有限的 p 进 MCF 表示 $\mathbb Q$ 线性相关的数。我们看到其逆命题不总成立，并证明在此情形下 MCF 的无穷部分商具有等于 $-1$ 的 p 进赋值。最后，我们证明维数为 $m$ 的周期 MCF 收敛于次数不大于 $m+1$ 的代数无理数，并且对于 $m=2$ 的情形我们能够给出一些更细致的结果。