关于真连分数的收敛子

真连分数是广义连分数，其分子 $a_i$ 为正整数，分母 $b_i$ 为整数且满足 $b_i \geq a_i$。本文研究了无理数对其收敛子的逼近强度，并分类了哪些整数对 $p,q$ 能产生某个无理数 $x$ 的收敛子 $p/q$。值得注意的是，我们将问题归约为仅寻找一阶和二阶的收敛性。我们完全分类了奇数下标收敛子的可能选择，并对偶数下标给出了近乎完全的分类。我们进一步提出了经典高斯映射的自然二维推广，作为动态生成所有可能展开的方法，并建立了该映射的遍历性。