整数连分数收敛的充要条件
数论
2021-02-23 v1
摘要
连分数理论的一个基本事实是：每个具有正整数系数的无穷连分数都收敛；然而，确切地哪些具有整数系数（不一定为正）的连分数收敛尚属未知。在此我们给出一个简单的判别法，用以判定整数连分数收敛或发散。此外，对于收敛的连分数，该判别法可指明其极限为有理数还是无理数。可视化整数连分数的一种吸引人的方式是将它们建模为 Farey 图上的路径，Farey 图是嵌入双曲平面并由此诱导出由理想三角形对双曲平面进行镶嵌的图。借助这种连分数的几何表示，我们的收敛判别法可以以一种特别优雅的方式加以解释，从而加深对连分数收敛本质的认识。
引用
@article{arxiv.2102.10173,
title = {Necessary and sufficient conditions for convergence of integer continued fractions},
author = {Ian Short and Margaret Stanier},
journal= {arXiv preprint arXiv:2102.10173},
year = {2021}
}
备注
15 pages, 2 figures