p进Welch界与p进Zauner猜想

设$p$为素数。对$d\in \mathbb{N}$，令$\mathbb{Q}_p^d$为标准$d$维p进Hilbert空间。令$m \in \mathbb{N}$，$\text{Sym}^m(\mathbb{Q}_p^d)$为对称$m$张量的p进Hilbert空间。我们证明如下结果。设$\{\tau_j\}_{j=1}^n$为$\mathbb{Q}_p^d$中满足(i)对所有$1\leq j \leq n$有$\langle \tau_j, \tau_j\rangle =1$，以及(ii)存在$b \in \mathbb{Q}_p$使得对所有$x \in \mathbb{Q}^d_p$有$\sum_{j=1}^{n}\langle x, \tau_j\rangle \tau_j =bx$的一族元素。则\begin{align} (1) \quad \quad \quad \max_{1\leq j,k \leq n, j \neq k}\{|n|, |\langle \tau_j, \tau_k\rangle|^{2m} \}\geq \frac{|n|^2}{\left|{d+m-1 \choose m}\right| }. \end{align} 我们称不等式(1)为Welch [\textit{IEEE Transactions on Information Theory, 1974}]所得Welch界的p进版本。不等式(1)不同于M. Krishna近期所得的非阿基米德Welch界，因为二者无法相互推导。我们提出了p进Zauner猜想。