闵可夫斯基第二定理离散类比的新界

我们改编 Tao 和 Vu 的一个论证,证明若 $\lambda_1\le\cdots\le\lambda_d$ 是某个原点对称凸体 $K$ 相对于某格点 $\Lambda<\mathbb{R}^d$ 的逐次极小值,并令 $k=\max\{j:\lambda_j\le1\}$,则 $K$ 至多包含 $2^k(1+\frac{\lambda_k}2)^k/\lambda_1\cdots\lambda_k$ 个格点。这为 Betke、Henk 和 Wills(1993)的一个猜想提供了改进界,并在 $\lambda_k\to0$ 时渐近地验证了该猜想。我们在无对称性假设下也获得了类似结果。