Minkowski基、Korkin-Zolotarev基与逐次极小

令 $\lambda_k$ 表示格 $L$ 的第 $k$ 个逐次极小。我们研究 $L$ 的某些基的长度性质。若 $v_1, \dots v_n$ 是在Minkowski意义下约化的基，我们证明对 $k = 6, 7$ 有 $\lvert v_k \rvert^2 \leq \frac{k}{4} \lambda_{k}^2$，证实了Sch\"urmann的一个猜想，并获得了Van der Waerden经典界的首个改进。我们构造了一序列格，其中 $\lvert v_n \rvert$ 显著长于Korkin-Zolotarev约化基中的最长向量，回答了Sch\"urmann的一个问题。在与Lior Hadassi合作的附录中，我们构造了一个格 $L$，具有令人惊讶的性质：任何包含 $L$ 的最短向量的基都不是最短基。