非阿基米德Welch界与非阿基米德Zauner猜想

设 $\mathbb{K}$ 为满足以下条件的非阿基米德（完备）赋值域：\n\begin{align*} \left|\sum_{j=1}^{n}\lambda_j^2\right|=\max_{1\leq j \leq n}|\lambda_j|^2, \quad \forall \lambda_j \in \mathbb{K}, 1\leq j \leq n, \forall n \in \mathbb{N}. \end{align*}\n对 $d\in \mathbb{N}$，令 $\mathbb{K}^d$ 为标准 $d$ 维非阿基米德 Hilbert 空间。令 $m \in \mathbb{N}$ 且 $\text{Sym}^m(\mathbb{K}^d)$ 为对称 m 阶张量的非阿基米德 Hilbert 空间。我们证明如下结果。若 $\{\tau_j\}_{j=1}^n$ 是 $\mathbb{K}^d$ 中满足对所有 $1\leq j \leq n$ 有 $\langle \tau_j, \tau_j\rangle =1$ 的集合，且算子 $\text{Sym}^m(\mathbb{K}^d)\ni x \mapsto \sum_{j=1}^n\langle x, \tau_j^{\otimes m}\rangle \tau_j^{\otimes m} \in \text{Sym}^m(\mathbb{K}^d)$ 可对角化，则\n\begin{align} (1) \quad \quad \quad \max_{1\leq j,k \leq n, j \neq k}\{|n|, |\langle \tau_j, \tau_k\rangle|^{2m} \}\geq \frac{|n|^2}{\left|{d+m-1 \choose m}\right| }. \end{align}\n我们称不等式 (1) 为 Welch [\textit{IEEE Transactions on Information Theory, 1974}] 所得 Welch 界的非阿基米德版本。我们提出非阿基米德 Zauner 猜想。