超稳定抽象初等类中的对称性与饱和模型的并

我们的主要结果（定理1）提出了抽象初等类的一个可能的分界线（$\mu$-超稳定 $+$ $\mu$-对称），无需使用额外的集合论假设或温顺性(tameness)。该定理阐明了此类分界线的结构方面。定理1：设$\mathcal{K}$为一个抽象初等类，其没有基数为$\mu^+$的极大模型，且满足联合嵌入与融合性质。假设$\mu\geq LS(\mathcal{K})$。若$\mathcal{K}$是$\mu$-和$\mu^+$-超稳定的，且满足$\mu^+$-对称性，则对于任意$\mu^+$-饱和模型的增加序列$\langle M_i\in\mathcal{K}_{\geq\mu^{+}}\mid i<\theta<(\sup\|M_i\|)^+\rangle$，有$\bigcup_{i<\theta}M_i$是$\mu^+$-饱和的。我们还应用VanDieren的《超稳定性与对称性》论文的结果，并利用塔(towers)在同时是$\mu$-和$\mu^+$-超稳定的抽象初等类中将对称性从$\mu^+$下传到$\mu$：定理2：假设$\mathcal{K}$是一个满足融合与联合嵌入性质的抽象初等类，且$\mathcal{K}$同时是$\mu$-和$\mu^+$-超稳定的。若$\mathcal{K}$具有针对非-$\mu^+$-分裂的对称性，则$\mathcal{K}$具有针对非-$\mu$-分裂的对称性。