半有限 von Neumann 代数中 n 元组的库鲁达定理

设 $\mathcal{M}$ 为半有限 von Neumann 代数，$E$ 为 $(0,\infty)$ 上的对称函数空间。记 $E(\mathcal{M})$ 为与 $\mathcal{M}$ 关联的可测算子仿射空间 $E$。设 $n\in \mathbb{N}$ 且 $E\cap L_{\infty}\not\subset L_{n,1}$，其中 $L_{n,1}$ 为基本函数为 $\varphi(t)=t^{1/n}$ 的洛伦兹函数空间。我们证明：对于任意 $\varepsilon>0$ 和每个自伴 $n$ 元组 $(\alpha(j))_{j=1}^n,$ 其中 $\alpha(j)$ 属于 $\mathcal{M}$，存在一个自伴 $n$ 元组 $(\delta(j))_{j=1}^n$ 的对角算子族，满足 $\max\{\|\alpha(j)-\delta(j)\|_{E(\mathcal{M})},\|\alpha(j)-\delta(j)\|_{\infty}\}<\varepsilon$ 对每个 $1\le j\le n$ 成立。在特殊情况下当 $\mathcal{M}=B(H)$ 时，结果给出经典的库鲁达定理和贝尔科维奇-沃伊科斯库定理。