可测算子对称空间中的 k-极值点

设 $\mathcal{M}$ 为具有忠实、正规、半有限迹 $\tau$ 的半有限 von Neumann 代数，$E$ 为 $[0,\tau(1))$ 上的强对称 Banach 函数空间。我们证明，若算子 $x$ 的奇异值函数 $\mu(x)$ 是 $k$-极值的（$k\in\mathbb N$），且满足以下条件之一：(i) $\mu(\infty,x)=\lim_{t\to\infty}\mu(t,x)=0$，或 (ii) $n(x)\mathcal{M} n(x^*)=0$ 且 $|x|\geq \mu(\infty,x)s(x)$，其中 $n(x)$ 和 $s(x)$ 分别为 $x$ 的零投影和支撑投影，则 $x$ 是 $E\left(\mathcal{M},\tau\right)$ 单位球面上的 $k$-极值点。当 $\mathcal{M}$ 为非原子型时，反之亦成立。由此可得全局 $k$-圆凸性质，即若 $\mathcal{M}$ 为非原子型，则 $E$ 是 $k$-圆凸的当且仅当 $E\left(\mathcal{M},\tau\right)$ 是 $k$-圆凸的。作为非交换结果的一个推论，我们得到：$f$ 是强对称函数空间 $E$ 单位球的 $k$-极值点，当且仅当其递减重排 $\mu(f)$ 是 $k$-极值的且 $|f|\geq \mu(\infty,f)$。最后我们得出关于轨道 $\Omega(g)$ 和 $\Omega'(g)$ 的推论。我们得到：对于 $g\in L_1+L_{\infty}$ 的轨道 $\Omega(g)$ 或 $g\in L_1[0,\alpha)$（$\alpha<\infty$）的轨道 $\Omega'(g)$，$f$ 是其 $k$-极值点，当且仅当 $\mu(f)=\mu(g)$ 且 $|f|\geq \mu(\infty,f)$。由此我们获得了 Marcinkiewicz 空间中 $k$-极值点的刻画。