关于单项对称函数的一个特定特殊化

设 $m_{\lambda }$ 为单项对称函数,$\lambda$ 为 $n\in \mathbb{N}^{\ast }$ 的整数分拆。对于对应于指数的 $q$-变形的特殊化,我们证明每个 $m_{\lambda }$ 关联一个系数属于 $\mathbb{Z}$ 的多项式 $J_{\lambda }\left( q\right)$。$J_{\lambda }$ 是 $\lambda =\left( n\right)$ 情形的推广,其中 $J_{\left( n\right) }=J_{n}$ 为树反转的计数函数。我们得到了 $J_{\lambda }$ 与 $J_{n}^{\left( r\right) }$ 之间的若干关系,这些 $J_{n}^{\left( r\right) }$ 由作者在先前工作中对 $n\geq r\geq 1$ 代数定义,并且是经典的 combinatorial 计数函数,其中 $J_{n}^{\left( 1\right) }=J_{n}$。由对 $n\leq 6$ 的 $J_{\lambda }$ 的归纳计算,我们猜想每个 $J_{\lambda }$ 的系数严格为正且对数凹。作为 Huh 关于拟阵复形的 $h$-向量的定理的推论,证明了 $J_{n}^{\left( r\right) }$ 的系数严格为正且对数凹,这为这些猜想提供了第二个论据。还证明了 $J_{\lambda }$ 的最后 $n-1$ 个系数与帕斯卡三角形第 $n-r-1$ 列的首批系数成比例,$r$ 为 $\lambda$ 的长度。这是支持这些猜想的第三个论据。对 $J_{\left( 3,2,1\right) }$ 的计算表明,若想通过应用上述 Huh 定理来证明这些猜想,存在一种障碍。