m-对称函数、非对称 Macdonald 多项式与正性猜想

我们研究由在变量 $x_{m+1},x_{m+2},x_{m+3},\dots$ 上对称而对变量 $x_1,\dots,x_m$ 无特殊对称性的多项式构成的 $m$-对称函数空间 $R_m$。我们通过 $t$-对称化非对称 Macdonald 多项式得到 $m$-对称 Macdonald 多项式，并证明它们构成 $R_m$ 的一组基。我们通过一个涉及其对偶基、表格组合学以及 Hecke 代数生成元的较为复杂的构造定义了 $m$-对称 Schur 函数，并证明了其若干最基本的性质。我们猜想，$m$-对称 Macdonald 多项式（经适当规范化与 plethystic 修正后）可按 $m$-对称 Schur 函数作正展开。我们得到了 $m$-对称情形下 $(q,t)$-Koska 系数 $K_{\Omega \Lambda}(q,t)$ 之间的关系，并特别地说明通常的 $(q,t)$-Koska 系数是 $K_{\Omega \Lambda}(q,t)$ 的特例。最后，我们证明当 $m$ 较大时，该正性猜想在模某个子空间意义下可化为关于非对称 Macdonald 多项式按非对称 Hall-Littlewood 多项式展开的正性猜想。